Was ist der Unterschied zwischen Steuervergütung und Steuererstattung?

In beiden Fällen kann sich der Steuerzahler freuen – er bekommt Geld vom Finanzamt zurück.

Eine Steuererstattung erfolgt, wenn Steuern ohne rechtlichen Grund bezahlt wurden, also bspw. die Vorauszahlung/Lohnsteuer zu hoch ausfiel. (§ 37 Abs. 2 AO)

Eine Steuervergütung erhält man dagegen, wenn die Steuern an sich völlig richtig berechnet und zu Recht bezahlt wurden, man aber aus anderen Gründen das Geld zurückbekommt, bspw. als Effekt der Sparzulage oder der Wohnungsbauprämie. Die Steuervergütung ist als solche nicht in der AO geregelt, sie wird nur in zahlreichen Vorschriften erwähnt.

Was ist die steuerrechtliche Aufrechnung?

Die Aufrechnung funktioniert im Steuerrecht im Wesentlichen genauso wie im Zivilrecht. § 226 Abs. 1 AO verweist hier auch weitgehend auf das BGB:
Für die Aufrechnung mit Ansprüchen aus dem Steuerschuldverhältnis sowie für die Aufrechnung gegen diese Ansprüche gelten sinngemäß die Vorschriften des bürgerlichen Rechts, soweit nichts anderes bestimmt ist.
Hat der Bürger also einerseits Steuerschulden, andererseits aber auch noch Ansprüche auf Steuererstattung, so kann sowohl er als auch das Finanzamt die Aufrechnung erklären. Damit erlöschen die gegenseitigen Ansprüche in der entsprechenden Höhe.