Hafte ich für bestehende Steuerschulden eines Betriebs, den ich übernehme?

Ja, § 75 Abs. 1 Satz 1 AO sagt:

Wird ein Unternehmen (…) übereignet, so haftet der Erwerber für Steuern (…), vorausgesetzt, dass die Steuern seit dem Beginn des letzten, vor der Übereignung liegenden Kalenderjahrs entstanden sind und bis zum Ablauf von einem Jahr nach Anmeldung des Betriebs durch den Erwerber festgesetzt oder angemeldet werden.

Es geht also nur um die Steuern aus dem Jahr der Übereignung und dem Vorjahr und sie müssen innerhalb eines ganzen Jahres ab Übereignung festgesetzt werden.